工作总结|高考数列的函数思想总结(集锦20篇)_高考数列的函数思想总结

作者：郭宝珠

**：《文理导航》2014年第27期

课前思考

“成正比例的量”是人教版六年级下册第三单元教学的内容，这节课是在学生已经认识了比和比例的知识、常见的数量关系的基础上进行编排的。这是一节概念课，通过本节课的学习，帮助学生理解正比例的意义，能找出生活中成正比例量的实例，并能应用知识解决一些实际问题，同时初步渗透函数思想。

本人曾多次执教过这节课，但每次总觉得课堂气氛沉闷，学生的学习积极性不高，学生只是机械的跟着老师完成下面的教学环节：

在例题中展示**，引导学生观察并回答下列问题。

表中有哪两种量？它们是相关联的量吗？

将两个对应的数字分成几组，写出它们的比值，并比较比值的大小。

这两种量成正比例吗？为什么？

思考一“为什么？”——为什么要学习“正、反比例这部分的知识”？在六年级的教学内容中正比例和反比例一直是一个重要的内容，这部分内容肩负了帮助学生完成一次认识上飞跃的重要任务。

学生将从大量对“常量”的认识经验中逐步过渡到认识“变量”，这是函数思想渗透的重要契机。即“学习这部分的知识有助于逐步培养学生的代数思维，更好的实现小学与中学数学学习上的衔接”。

思考二“是什么？”——这一知识的本质是什么？教材中用了一大段语言（共65个字）描述了成正比例的量和正比例关系，其实它就是学生今后要继续学习的正比例函数的雏形，是研究两个相关联的变量之间的一种数学模型。

说到函数，老师们可能并不陌生，虽然小学阶段不出现函数这一概念，但在小学阶段始终都渗透着函数思想，因为有变化的地方都蕴含着函数思想。

思考三“怎么学？”——抓住本质，激活元认知，渗透函数思想。

函数的核心是“把握并刻画变化中的不变，其中变化的是‘过程’，不变的是‘规律’（关系）。”因此要为学生提供熟悉的、直观的情境让学生感悟生活中存在许多变化的量，而这些变化的量又有一定的联系，如一个量的变化会引起另一个量的变化，而我们要**的是相关联的量的“变化规律”。

〚11〛高考数列的函数思想总结

高考数学复合函数知识点归纳

1.复合函数定义域

若函数y=f(u)的定义域是B,u=g(x)的定义域是A,则复合函数y=f[g(x)]的定义域是

D={x|x∈A,且g(x)∈B} 综合考虑各部分的x的取值范围，取他们的交集。

求函数的定义域主要应考虑以下几点：

⑴当为整式或奇次根式时，R的值域;

⑵当为偶次根式时，被开方数不小于0(即≥0);

⑶当为分式时，分母不为0;当分母是偶次根式时，被开方数大于0;

⑷当为指数式时，对零指数幂或负整数指数幂，底不为0(如，中)。

⑸当是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，它的定义域应是使各部分都有意义的自变量的值组成的集合，即求各部分定义域集合的交集。

⑹分段函数的定义域是各段上自变量的取值集合的并集。

⑺由实际问题建立的函数，除了要考虑使解析式有意义外，还要考虑实际意义对自变量的要求

⑻对于含参数字母的函数，求定义域时一般要对字母的取值情况进行分类讨论，并要注意函数的定义域为非空集合。

⑼对数函数的真数必须大于零，底数大于零且不等于1。

⑽三角函数中的切割函数要注意对角变量的限制。

注：设y=f(u)的最小正周期为T1,μ=φ(x)的最小正周期为T2,则y=f(μ)的最小正周期为T1_2,任一周期可表示为k_1_2(k属于R+)

2.复合函数单调性

依y=f(u)，μ=φ(x)的单调性来决定。即“增+增=增;减+减=增;增+减=减;减+增=减”，可以简化为“同增异减”。

⑴求复合函数的定义域;

⑵将复合函数分解为若干个常见函数(一次、二次、幂、指、对函数);

⑶判断每个常见函数的单调性;

⑷将中间变量的取值范围转化为自变量的取值范围;

⑸求出复合函数的单调性。

三角函数诱导公式记忆口诀

“奇变偶不变，符号看象限”。“奇、偶”指的是π/2的倍数的奇偶，“变与不变”指的是三角函数的名称的变化：“变”是指正弦变余弦，正切变余切。(反之亦然成立)“符号看象限”的含义是：把角α看做锐角，不考虑α角所在象限，看n·(π/2)±α是第几象限角，从而得到等式右边是正号还是负号。以cos(π/2+α)=-sinα为例，等式左边cos(π/2+α)中n=1，所以右边符号为sinα，把α看成锐角，所以π/2<(π/2+α)<π，y=cosx在区间(π/2，π)上小于零，所以右边符号为负，所以右边为-sinα。

三角函数诱导公式大全

公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：

sin(2kπ+α)=sinα(k∈Z)

cos(2kπ+α)=cosα(k∈Z)

tan(2kπ+α)=tanα(k∈Z)

cot(2kπ+α)=cotα(k∈Z)

公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：

sin(π+α)=-sinα

cos(π+α)=-cosα

tan(π+α)=tanα

cot(π+α)=cotα

公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系(利用原函数奇偶性)：

sin(-α)=-sinα

cos(-α)=cosα

tan(-α)=-tanα

cot(-α)=-cotα

公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：

sin(π-α)=sinα

cos(π-α)=-cosα

tan(π-α)=-tanα

cot(π-α)=-cotα

公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：

sin(2π-α)=-sinα

cos(2π-α)=cosα

tan(2π-α)=-tanα

cot(2π-α)=-cotα

公式六：π/2±α与α的三角函数值之间的关系：

sin(π/2+α)=cosα

sin(π/2-α)=cosα

cos(π/2+α)=-sinα

cos(π/2-α)=sinα

tan(π/2+α)=-cotα

tan(π/2-α)=cotα

cot(π/2+α)=-tanα

cot(π/2-α)=tanα

推算公式：3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：

sin(3π/2+α)=-cosα

sin(3π/2-α)=-cosα

cos(3π/2+α)=sinα

cos(3π/2-α)=-sinα

tan(3π/2+α)=-cotα

tan(3π/2-α)=cotα

cot(3π/2+α)=-tanα

cot(3π/2-α)=tanα

两角和差公式

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ

cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ

cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)

tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)

二倍角的正弦、余弦和正切公式

sin2α=2sinαcosα

cos2α=cos2(α)-sin2(α)=2cos2(α)-1=1-2sin2(α)

tan2α=2tanα/[1-tan2(α)]

tan[(1/2)α]=(sinα)/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα

半角的正弦、余弦和正切公式

sin2(α/2)=(1-cosα)/2

cos2(α/2)=(1+cosα)/2

tan2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)

tan(α/2)=(1—cosα)/sinα=sinα/1+cosα

万能公式

sinα=2tan(α/2)/[1+tan2(α/2)]

cosα=[1-tan2(α/2)]/[1+tan2(α/2)]

tanα=[2tan(α/2)]/[1-tan2(α/2)]

三倍角的正弦、余弦和正切公式

sin3α=3sinα-4sin3(α)

cos3α=4cos3(α)-3cosα

tan3α=[3tanα-tan3(α)]/[1-3tan2(α)]

三角函数的和差化积公式

sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

三角函数的积化和差公式

sinα·cosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]

cosα·sinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]

cosα·cosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]

sinα·sinβ=[cos(α+β)-cos(α-β)]

〚12〛高考数列的函数思想总结

广东高考数列必备知识

广东高考涉及数列的题目通常是一“小”一“大”。

1.小题属于中、低档题，主要考查等差（比）的概念、公式以及性质，复习重点应放在“基本量法”（也俗称“知三求二”）和性质的应用上。

2.大题属于中、高档题，主要考查考生推理论证、抽象概括、运算求解和探究能力。近几年的题目条件主要集中在：（1）已知数列的递推关系式；（2）已知Sn与an的关系式；（3）通过函数关系（或解析几何）建立Sn与an的关系或递推关系等几种形式。考查的问题主要集中在：（1）确定数列的通项公式；（2）证明某些和（积）式的不等关系等。

对于问题（1）的处理，复习重点应放在认真分析递推关系式上，识记能用累加、累乘、倒数法求通项公式的结构特点，掌握形如an1panq(p0且p1,q0)的一阶递推以及其演化的递推式an1panqn和二阶递推式an2pan1qan的用待定系数法构造新等比数列求通项，以及先猜想出通项公式、再用数学归纳法证明的方法。

对于问题（2），复习重点之一：非等差（或等比）数列求和，主要包括：分组求和、裂项求和、错位相减求和等。重点之二：会解决数列中的不等关系，主要方法：①作差（商）法；②构造函数，利用函数的单调性；③分析法；④放缩法；⑤利用基本不等式；⑥反证法以及数学归纳法等。

〚13〛高考数列的函数思想总结

方差用来度量随机变量和其数学期望(即均值)之间的偏离程度。统计中的方差(样本方差)是各个数据分别与其平均数之差的平方的和的平均数。

1.设C为常数，则D(C)=0(常数无波动);

2.D(CX)=C2D(X)(常数平方提取);

3.若X、Y相互独立，则前面两项恰为D(X)和D(Y)，第三项展开后为

当X、Y相互独立时，，故第三项为零。

独立前提的逐项求和，可推广到有限项。

方差公式：

(n表示这组数据个数，x1、x2、x3……xn表示这组数据具体数值)

计算下列一组数据的极差、方差及标准差(精确到0.01).

50，55，96，98，65，100，70，90，85，100.

〚14〛高考数列的函数思想总结

复习课：

数列求和

一、【知识梳理】

1．等差、等比数列的求和公式，公比含字母时一定要讨论．

2．错位相减法求和：如：已知成等差，成等比，求．

3．分组求和：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和．

4．合并求和：如：求的和．

5．裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项．

常见拆项：，，（理科）．

6．倒序相加法求和：如等差数列求和公式的推导．

7．其它求和法：归纳猜想法，奇偶法等．

二、【经典考题】

【1.公式求和】例1．（浙江）在公差为的等差数列中，已知，且成等比数列．

（1）求；

（2）若，求．

【分析】第一问注意准确利用等差等比数列定义即可求解，第二问要注意去绝对值时项的正负讨论．

【解答】（1）由已知得到：

（2）由（1）知，当时，①当时，②当时，所以，综上所述：

．

【点评】本题考查等差数列、等比数列的概念，等差数列通项公式、求和公式等基础知识，同时考查运算求解能力．

变式训练：

（重庆文）设数列满足：，．

（1）求的通项公式及前项和；

（2）已知是等差数列，为前项和，且，求．

【解答】

（1）由题设知是首项为，公比为的等比数列，．

（2），故．

【2.倒序相加法】例2．已知函数．

（1）证明：；

（2）若数列的通项公式为，求数列的前项和；

（3）设数列满足：，若（2）中的满足对任意不小于的任意正整数恒成立，试求的最大值．

【分析】第（1）问，先利用指数的相关性质对化简，后证明左边=右边即可；第（2）问，注意利用（1）中的结论，构造倒序求和；第（3）问，由已知条件求出的最小值，将不等式转化为最值问题求解．

【解答】（1）

．

（2）由（1）知，，即，又两式相加得，即．

（3）由，知对任意的，则，即，所以．，即数列是单调递增数列．

关于递增，时，．

．

由题意知，即，解得，的最大值为．

【点评】解题时，对于某些前后具有对称性的数列，可以运用倒序相加法求和．

变式训练：

已知函数．

（1）证明：；

（2）求的值．

【解答】（1）

（2）利用第（1）小题已经证明的结论可知，令，两式相加得：

所以．

【3.错位相减法】例3．（山东理)设等差数列的前项和为，且．

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列前项和为，且

(为常数)．令，求数列的前项和．

【分析】第（1）问利用等差数列通项公式及前项和公式列方程组求解及即可；第（2）问先利用与关系求出，进而用乘公比错位相减法求出．

【解答】（1）设等差数列的首项为，公差为，由得，解得，．

因此

．

（2）由题意知：，所以时，故，．

所以，则，两式相减得，整理得．

所以数列数列的前项和．

【点评】用错位相减法求和时，应注意：

（1）要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数时的情形；

（2）在写出与的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确写出的表达式；

（3）利用错位相减法转化为等比数列求和时，若公比是参数（字母），一般情况要先对参数加以讨论，主要分公比为和不等于两种情况分别求和．

变式训练：

(山东文)设等差数列的前项和为，且．

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列满足，求的前项和．

【解答】（1）同例3．（1）．

（2）由已知，当时，当时，结合知，．

又，两式相减得，．

【4.裂项相消法】例4．(广东)设各项均为正数的数列的前项和为，满足，且构成等比数列．

（1）证明：；

（2）求数列的通项公式；

（3）证明：对一切正整数，有．

【分析】本题主要考查利用与关系求出，进而用裂项相消法求出和，然后采用放缩的方法证明不等式．

【解答】

（1）当时，（2）当时，，当时，是公差的等差数列．

构成等比数列，，解得，由(1)可知，是首项，公差的等差数列．

数列的通项公式为．

（3）

．

【点评】

（1）利用裂项相消法求和时，应注意抵消后不一定只剩第一项和最后一项，也有可能前后各剩两项或若干项；将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等．

（2）一般情况下，若是等差数列，则；此外，根式在分母上时可考虑利用分母有理化相消求和．

变式训练：

（大纲卷文）等差数列中，（1）求的通项公式；

（2）设．

【解答】（1）设等差数列的公差为，则

因为，所以．

解得，．

所以的通项公式为．

（2），所以．

【5.分组求和法】例5．（安徽）设数列满足，且对任意，函数

满足

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前项和．

【分析】，由可知数列为等差数列．

【解答】（1）由，得，所以，是等差数列．

而，．

（2），．

【点评】本题主要考查了分组求和法，具体求解过程中一定要注意观察数列通项的构成特点，将其分成等差、等比或其它可求和的式子，分组求出即可．

变式训练：

（2012山东）在等差数列中，．

（1）求数列的通项公式；

（2）对任意，将数列中落入区间内的项的个数记为，求数列的前项和．

【解答】（1）由可得，则，于是，即

．

（2）对任意，则，即，，．

于是，即．

【6.奇偶项求和】例6．（2011山东）等比数列中，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且中的任何两个数不在下表的同一列．

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列满足：，求数列的前项和．

第一列

第二列

第三列

第一行

第二行

第三行

【分析】根据等比数列定义先判断出，求出通项；求和时要对分奇偶讨论．

【解答】（1）由题意知，因为是等比数列，所以公比为，所以数列的通项公式．

（2）解法一：

当时，．

当时，故.解法二：令，即

则

．

故

.【点评】解法一分为奇数和偶数对进行化简求和，而解法二直接采用乘公比错位相减法进行求和，只不过此时的公比

．本题主要意图还是考查数列概念和性质，求通项公式和数列求和的基本方法．

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变式训练：

已知数列，求．

【解答】，若，则

若

．

三、【解法小结】

1．数列求和的关键在于分析数列的通项公式的结构特征，在具体解决求和问题中，要善于从数列的通项入手观察数列通项公式的结构特征与变化规律，根据通项公式的形式准确、迅速地选择方法，从而形成“抓通项、寻规律、定方法”的数列求和思路是解决这类试题的诀窍．

2．一般地，非等差（比）数列求和题的通常解题思路是：如果数列能转化为等差数列或等比数列就用公式法；如果数列项的次数及系数有规律一般可用错位相减法、倒序相加法来解决；如果每项可写成两项之差一般可用裂项法；如果能求出通项，可用拆项分组法；如果通项公式中含有可用并项或分奇偶项求和法．

四、【小试牛刀】

1．数列前项的和为（）

A．

B．

C．

D．

2．数列的前项和为，若，则等于（）

A．

B．

C．

D．

3．数列中，若前项的和为，则项数为（）

A．

B．

C．

D．

4．（2013大纲）已知数列满足则的前项和等于（）

A．

B．

C．

D．

5．设首项为,公比为的等比数列的前项和为,则（）

A．

B．

C．

D．

6．（2013新课标）设等差数列的前项和为，则（）

A．

B．

C．

D．

7．．

8．已知数列，则其前项和为

．

9.（2013江西）某住宅小区计划植树不少于棵,若第一天植棵,以后每天植树的棵树是前一天的倍,则需要的最少天数等于

．

10.．

11．(2013江苏）在正项等比数列中，，则满足的最大正整数的值为

．

12．正项数列的前项和满足:

.（1）求数列的通项公式；

（2）令,数列的前项和为.证明:对于任意的,都有.参考答案：

1．B

2．B

3．C

4．C

5．D

6．C

7．8．

9．10.11．，.，..，所以的最大值为.12．（1）由,得.由于是正项数列,所以.于是时,.综上,数列的通项.（2）证明:由于.则..

〚15〛高考数列的函数思想总结

一.幂函数——教学目标：

1.知识技能

(1)了解幂函数的概念;

(2)通过具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行初步的应用。

(3)学会研究函数图象和性质的一般方法。

2.过程与方法

类比研究指数函数、对数函数学习过程，掌握幂函数的图象和性质。

3.情感、态度、价值观

(1)进一步渗透数形结合与类比的思想方法;

(2)体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性，感受数学美。

二、幂函数——教学重难点：

1、重点：幂函数的概念和性质;

2、难点：函数指数的推广及性质的归纳。

三、幂函数——教学辅助工具：

PPT课件，几何画板。

四、幂函数——教学过程：

(一)创设情景

前面我们学习了函数的定义，研究了函数的一般性质，并且研究了指数函数和对数函数。函数这个大家庭有很多成员，今天，我们利用学习指数函数、对数函数的方法，再来认识一位新成员。

1、如果正方形的边长为，那么正方形的面积是= ，是的函数。

2、如果正方体的边长为，那么正方体的体积是 = ，是的函数。

3、如果正方形场地的面积为，那么正方形的边长= ，是的函数。

4、如果某人s内骑车行进了1km，那么他骑车的平均速度= km/s，是的函数。

思考：上述函数解析式有什么共同特征?

答：(1)都是函数;

(2)均是以自变量为底的幂;

(3)指数均为常数;

(4)自变量前的系数为1。

(二)新课导入

1、幂函数的定义：

一般地, 叫做幂函数,其中是自变量,是常数。

2、幂函数与我们之前学过的哪种函数在形式上接近?

3、幂函数与指数函数有什么区别?

答：判断一个函数是幂函数还是指数函数的切入点是看未知数x是做底数还是做指数，若是做底数则是幂函数;若是做指数则是指数函数。

设计意图：引导学生分析掌握幂函数的结构，三要素，区分幂函数与指数函数的异同点。

(三)小试牛刀

1、下列函数中，哪几个函数是幂函数?

① ② ③

④ ⑤ ⑥

2、已知函数是幂函数，则实数的值等于_____.

3、已知幂函数的图象过点，则

(四)自主探究

1、请在同一坐标系内画出幂函数，，，，的图象。

2、观察图象，讨论归纳幂函数;;;;的性质。

定义域

值 域

奇偶性

单调性

定 点

(五)合作探究

归纳幂函数的性质：

(1)幂函数图象过定点 。

(2)函数、、是奇函数，函数是偶函数

(3)幂函数,在第 象限都有图象。我们就先来研究幂函数在第 象限上的性质，函数的奇偶性能够帮助我们完成其他象限的图象。

在区间上，函数、、和是增函数，函数是减函数。

推广：当>0时，函数在第一象限是增函数，当<0时，函数在第一象限是减函数.

(4)在第一象限，函数的图象向上与y轴无限接近，向右与x轴无限接近

设计意图：引导学生类比前面研究一般的函数、指数函数、对数函数等过程中的思想方法研究幂函数;让学生通过观察上述图象，自己尝试归纳五个幂函数的基本性质，然后完成表格;进而归纳幂函数的性质。

(六)反馈演练

例1、证明幂函数上是增函数

证：任取

=

=

因<0，>0

所以，即上是增函数.

例2、比较下列各组中两个值的大小：

(1)与 ;(2)与;(3)与

(4)与.

例3、已知幂函数在上是减函数，求m的取值.

例题的设计意图：

例题1复习函数单调性的证明步骤，例题2复习利用指数函数的图象与性质来比较大小的同时学会用幂函数的方法来比较大小，体会一题多解.例题3学会利用幂函数的性质来解题.

(七)总结提炼

1、谈谈五个基本幂函数的定义域与对应幂函数的奇偶性、单调性之间的关系?

2、幂函数与指数函数的不同点主要表现在哪些方面?

〚16〛高考数列的函数思想总结

2013年高考试题分类汇编——数列

x2x3xn

2013安徽(20)(13分)设函数fn(x)1x22...2(xR,nN),证明:

23n

2(1)对每个n∈N+,存在唯一的xn[,1],满足fn(xn)0;

3(2)对于任意p∈N+,由(1)中xn构成数列{xn}满足0xnxnp2013北京（20）（本小题共13分）

.n

已知an是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为An，第n项之后各项an1,an2的最小值记为Bn，dnAnBn．

（Ⅰ）若an为2,1,4,3,2,1,4,3…，是一个周期为4的数列（即对任意nN*，an4an），写出d1,d2,d3,d4的值;

（Ⅱ）设d是非负整数，证明：dndn1,2,3的充分必要条件为an是公差为d的等差数列;

（Ⅲ）证明：若a12，dn1n1,2,3,，则an的项只能是1或者2，且有无穷多项为1.2正项数列{an}的前项和{an}满足：sn(n2n1)sn(n2n)0

（1）求数列{an}的通项公式an；（2）令bn都有Tn

n1*

nN，数列{b}的前项和为。证明：对于任意的，Tnnn22

(n2)a6

42013全国大纲17．（本小题满分10分）

等差数列an的前n项和为Sn.已知S3=a22,且S1,S2,S4成等比数列，求an的通项

式.2013四川16．(本小题满分12分)在等差数列{an}中，a2a18，且a4为a2和a3的等比中项，求数列{an}的首项、公差及前n项和． 2013天津(19)(本小题满分14分)已知首项为的等比数列{an}不是递减数列, 其前n项和为Sn(nN*), 且S3 + a3, S5 + a5, S4 + a4成等差数列.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;

(Ⅱ)设TnSn1(nN*), 求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值.Sn

322013陕西17.(本小题满分12分)

设{an}是公比为q的等比数列.(Ⅰ)导{an}的前n项和公式;

(Ⅱ)设q≠1, 证明数列{an1}不是等比数列.2013湖北

18、已知等比数列an满足：a2a310，a1a2a3125。（I）求数列an的通项公式；

（II）是否存在正整数m，使得11a1a211？若存在，求m的最小值；am

若不存在，说明理由。

2013江苏19．（本小题满分16分）

设{an}是首项为a，公差为d的等差数列(d0)，Sn是其前n项和．记bnnSn，2nc

nN*，其中c为实数．

（1）若c0，且b1，b2，b4成等比数列，证明：Snkn2Sk（k,nN*）；

（2）若{bn}是等差数列，证明：c0．

2013浙江18．（本小题满分14分）在公差为d的等差数列{an}中，已知a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列

（Ⅰ）求d，an；

（Ⅱ）若d<0，求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|．

〚17〛高考数列的函数思想总结

错因分析：等差数列的首项为a1、公差为d，则其通项公式an=a1+(n-1)d，前n项和公式Sn=na1+n(n-1)d/2=(a1+an)d/2;等比数列的首项为a1、公比为q，则其通项公式an=a1pn-1，当公比q≠1时，前n项和公式Sn=a1(1-pn)/(1-q)=(a1-anq)/(1-q)，当公比q=1时，前n项和公式Sn=na1。在数列的基础性试题中，等差数列、等比数列的这几个公式是解题的根本，用错了公式，解题就失去了方向。

〚18〛高考数列的函数思想总结

1、若 为等差数列,且 则 ;

2、若 为等差数列, 当为奇数时, , ( 中间项),

当n为偶数时, 。

3、若 为等差数列,则连续 项的和组成的数列 仍为等差数列。

4、等差数列 中,若 ,则 , 是其前 项之和,有如下性质,

(2)若 则 ;

(3)若 则 ;

(4)若 ,则 。

5、有两个等差数列 、 ,若 ,则 。

6、若 为等差数列, 为公差,则 。

7、若 、 都是等差数列,公差分别为 、 ,若这两个数列有公共项,则公共项组成的新数列一般仍为等差数列。

8、等差数列 中, (d为公差)。

若公差非零的等差数列 中的三项 构成等比数列,则其公比为: 。

9、等差数列前项和公式 。

10、在等差数列 中,有关 的最值问题常用邻项变号法来求解,分类如下:

(1)当 时,满足 的项数 ,使得 取最大值;

(2)当 时,满足 的项数 ,使得 取最小值;

说明: 存在最大值,只需 , 存在最小值,只需 。

11、若 为等比数列,则连续 项的和组成的数列 仍为等比数列。( )。

12、若 为等比数列,且 则 ;

,

13、若 为等比数列, 、 、 成等差数列,则 、 、 成等比数列,其中 、 、

14、若 为等比数列,则 。

15、若 为等差数列,则 。

16、 ;

;

18、由递推公式求数列通项公式类型与方法归类:

配成 ,等比数列,其中 ;

(2)若 ,考察特征方程, ,设其两根为 ,分类讨论如下:

特别地:选择或填空题中,若所求数列某项的项数较大,且求通项不容易,则该数列可能为周

期数列,可通过归纳求某项。

(1)若 为等差数列, 为等比数列,则数列 前 项的和可用错位相减法求得。

(2)如果一个数列 ,与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和,这样的数列可用倒序相加法求和。

求 的值,就可用倒序相加法求和。

(3)若通项为 个连续自然数积的倒数,则一般可用裂项法求前 项的和。如 是公差为 的等差数列,则有 ,

(4)当一个数列既不是等差数列又不是等比数列时,如果能将这个数列分解为一个等差数列和一个等比数列对应项相加得到的一个新数列,此时可用分组法求和(有时按奇数项和偶数项分组)。

20、数列 是公差非零的等差数列的充要条件是: 是关于 的一次函数,或 是关于 的不含常数项的二次函数。(有时可设 ,若 ,则 是常数列)

21、等差数列 的前 项的算术平均值 是等差数列,等比数列前 项的几何平均值是等比数列。

22、一般地,若 为等差数列, 是 的前 项和,则 也是等差数列。

23、等差数列 中, , 且 ,则使前 项和 成立的最大自然数 是 。

〚19〛高考数列的函数思想总结

高中数学题目对我们的逻辑思维、空间思维以及转换思维都有着较高要求，其具有较强的推证性和融合性，所以我们在解决高中数学题目时，必须严谨推导各种数量关系。很多高中题目都并不是单纯的数量关系题，其还涉及到空间概念和其他概念，所以我们可以利用数形结合法理清题目中的各种数量关系，从而有效解决各种数学问题。

数形结合法主要是指将题目中的数量关系转化为图形，或者将图形转化为数量关系，从而将抽象的结构和形式转化为具体简单的数量关系，帮助我们更好解决数学问题。例如，题目为“有一圆，圆心为O，其半径为1，圆中有一定点为A，有一动点为P，AP之间夹角为x，过P点做OA垂线，M为其垂足。假设M到OP之间的距离为函数f(x)，求y=f(x)在的图像形状。”

这个题目涉及到了空间概念以及函数关系，所以我们在解决这个题目时不能只从一个方面来思考问题，也不能只对题目中的函数关系进行深入挖掘。从已知条件可知题目要求我们解决几何图形中的函数问题，所以我们可以利用数形结合思想来解决这个问题。首先我们可以根据已知条件绘出相应图形，如图1，显示的是依据题目中的关系绘制的图形。

根据题目已知条件可知圆的半径为1，所以OP=1，∠POM=x，OM=|cos|，然后我们可以建立关于f(x)的函数方程，可得所以我们可以计算出其周期为，其中最小值为0，最大值为，根据这些数量关系，我们可以绘制出y=f(x)在的图像形状，如图2，显示的是y=f(x)在的图像。

排除解题法一般用于解决数学选择题，当我们应用排除法解决问题时，需掌握各种数学概念及公式，对题目中的答案进行论证，对不符合论证关系的答案进行排除，从而有效解决数学问题。当我们在解决选择题时，必须将题目及答案都认真看完，对其之间的联系进行合理分析，并通过严谨的解题思路将不符合论证关系的条件进行排除，从而选择正确的答案。

排除解题法主要用于缩小答案范围，从而简化我们的解题步骤，提高接替效率，这样方法具有较高的准确率。例如，题目为“z的共轭复数为z，复数z=1+i，求zz-z-1的值。选项A为-2i、选项B为i、选项C为-i、选项D为2i。”

当我们在解决这个题目时，不仅要对题目已知条件进行合理分析，而且还要对选项进行合理考虑，并根据它们之间的联系进行有效论证。我们可以采取排除法来解决这个问题，已知z=1+i，所以我们可以求出z的共轭复数，由于题目中含有负号，所以我们可以排除B项和D项;然后我们可以将z的共轭复数带进表达式，可得zz-z-1=(1+i)(1-i)-1-i-1=-i，所以我们可以将A项排除，最终选择C项。

三、方程解题法

很多数学题目中有着复杂的数量关系，而且涉及到许多知识点，当我们在解析题目中的数量关系时，如果直接对其数量关系进行分析，不仅增加我们解题过程，还会提高题目整体难度，这样我们就难以理清题目中的各种关系，给我们有效解决题目带来较大麻烦。

数学题目中的各种数量关系大都具有紧密联系，所以我们可以利用方程解题法建立多种数量关系，简化解题步骤，帮助我们更好解决数学问题。例如，题目为“双曲线C的离心率是2，其焦点主要为F1和F2，双曲线C上有一点A，如果|F1A|=2|F2A|，求cos∠AF2F1的值。”

这个问题中存在着较抽象的数量关系，如果直接利用已知条件求cos∠AF2F1的值，不仅会增加我们的解题步骤，而且很容易出现错误，所以我们可以利用方程解题法来解决这个问题。首先，由已知条件双曲线C的离心率是2可得出C=2a;然后可根据双曲线上点A建立表达式，2a=|F1A|-|F2A|，所以可计算出|F1A|=4a，|F2A|=2a，|F1F2|=2c;最后我们可以通过余弦定理建立方程式，

所以最后我们可以得出cos∠AF2F1的值为。

1.圆锥曲线中最后题往往联立起来很复杂导致k算不出，这时你可以取特殊值法强行算出k过程就是先联立，后算代尔塔，用下伟达定理，列出题目要求解的表达式，就ok了。

2.选择题中如果有算锥体体积和表面积的话，直接看选项面积找到差2倍的小的就是答案，体积找到差3倍的小的就是答案，屡试不爽!

3.三角函数第二题，如求a(cosB+cosC)/(b+c)coA之类的先边化角然后把第一题算的比如角A等于60度直接假设B和C都等于60°带入求解。省时省力!

4.空间几何证明过程中有一步实在想不出把没用过的条件直接写上然后得出想不出的那个结论即可。如果第一题真心不会做直接写结论成立则第二题可以直接用!用常规法的同学建议先随便建立个空间坐标系，做错了还有2分可以得!

5.立体几何中第二问叫你求余弦值啥的一般都用坐标法!如果求角度则常规法简单!

7.选择题中求取值范围的直接观察答案从每个选项中取与其他选项不同的特殊点带入能成立的就是答案

9.遇到这样的选项A.1/2，B.1，C.3/2，D.5/2这样的话答案一般是D因为B可以看作是2/2前面三个都是出题者凑出来的如果答案在前面3个的话D应该是2(4/2)

〚20〛高考数列的函数思想总结

2012届知识梳理—数列

1a(n2k)112n

(kN*)，记bna2n1，1、（河西三模）设数列{an}的首项a1，且an124a1(n2k1)n

4n

1,2,3,（I）求a2,a3；

（II）判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论；（III）证明b13b25b3(2n1)bn3.22(Snn)3*

2、（南开二模）已知数列{an}的前n项和为Sn，对于任意的nN，有an

（I）求证：数列{an1}是等比数列，并求{an}的通项公式；（II）求数列{nan}的前n项和Tn3、（和平二模）已知数列{an}满足a1

（I）求{an}的通项公式；

（II）若Tnb12b22（III）设cna11 ,an1ann(nN*),bn2n14an1bn2，求证Tn2； 1，求数列{cn}的前n项和.bnbn

14、（河北一摸）在数列{an}与{bn}中，数列{an}的前n项Sn满足Snn22n，数列{bn}的前n项和Tn

满足3Tnnbn1，且b11,nN*.（I）求{an}的通项公式；

（II）求数列{bn}的通项公式；

（III）设cnbn(an1)2ncos，求数列{cn}的前n项和.n1

3*

5、（南开一摸）设数列{an}满足：nN,an2Sn243，其中Sn为数列{an}的前n项和.数列{bn}满

足bnlog3an.（I）求数列{an}的通项公式；

（II）求数列{cn}满足：cnbnSn，求数列{cn}的前n项和公式.6、（市内六校联考二）已知二次函数f(x)ax2bx的图象过点(4n,0)，且f'(0)2n,nN*（I）求f(x)的解析式；（II）设数列满足

1f'()，且a14，求数列{an}的通项公式； anan

（III）记bn

{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn2.7、（市内六校联考三）数列{an}的前n项和为Sn，a11，且对于任意的正整数n，点(an1,Sn)在直线

2xy20上.（I）求数列{an}的通项公式；

（II）是否存在实数，使得{Snn



2n

为等差数列？若存在，求出的值，若不存在，说明理由.112n（III）已知数列{bn}，bn，bn的前n项和为Tn，求证：Tn.62(an1)(an11)

8、（河东一摸）将等差数列{an}所有项依次排列，并作如下分组：(a1),(a2,a3),(a4,a5,a6,a7),组1项，第二组2项，第三组4项，第n组

2n

1，第一

项.记Tn为第n组中各项和，已知T348,T40.（I）求数列{an}的通项公式；（II）求Tn的通项公式；（III）设{Tn}的前n项的和为Sn，求S8.9、（河西区一摸）已知数列{an}满足a1

(n1)(2ann)

1,an1(nN*)2an4n

ankn

为公差是1的等差数列，求k的值； ann

.1

2（I）求a2,a3,a4；（II）已知存在实数k，使得数列{

（III）记bn

nN*)，数列{bn}的前n项和为S

n，求证Sn

10、（和平一摸）在等差数列{an}和等比数列{bn}中，已知a11,a47,b1a11,b4a81（I）分别求出{an},{bn}的通项公式；（II）若{an}的前n项和为Sn，1

1S1S

2

与2的大小； Sn

（III）设Tn

a1a2

b1b2



an*，若Tnc（cN），求c的最小值.bn

2an1(n2k)

11、（红桥区4月）已知数列{an}满足：a11,ann1(kN*)，n2,3,4,22an1(n2k1)

2（I）求a3,a4,a5；（II）设bna2n11,n1,2,3,（III）若数列{cn}满足2

2(c11),，求证：数列{bn}是等比数列，并求出其通项公式；

22(c21)

22(cn1)bncn，证明：{cn}是等差数列.12、（河北区二模）已知各项均为正数的数列{an}的前n项和Sn满足6Sn(an1)(an2)，且S11（I）求{an}的通项公式；（II）设数列{bn}满足an(2n

b

11)1，记Tn为{bn}的前n项和，求证：3Tn1log2(an3).Sn1Sn2an1，

SnSn1an13、（第二次12校）已知数列{an}的首项a11,a23，前n项和为Sn，且

(nN*,n2)，数列bn满足b11，bn1log2(an1)bn。

（Ⅰ）判断数列1{an1}是否为等比数列，并证明你的结论；

n

21)，求c1c2c3cn；（II）设cnan(bn2

（Ⅲ）对于（Ⅰ）中数列an，若数列{ln}满足lnlog2(an1)（nN*），在每两个lk与lk1 之间都插入2k1（k1,2,3,kN*）个2，使得数列{ln}变成了一个新的数列{tp}，(pN)试问：是否存在正整数m,使得数列{tp}的前m项的和Tm2011?如果存在，求出m的值；如果不存在，说明理由.14、（第一次12校）已知数列{an}的前n项和Sn满足：a(Snan)Sna（a为不为零的常数，aR）

(nN)．

（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）设cnnan1，求数列{cn}的前n项和Tn；（Ⅲ）当数列{an}中的a2时，求证：

2222232n

1． 15(a11)(a21)(a21)(a31)(a31)(a41)(an1)(an11)

315、(五校联考)在数列an中，a1

a211，an1n，nN 7an

（I）令bn

1，求证：数列bn是等比数列；（II）若dn(3n2)bn，求数列dn的前n项

an2

3



和Sn；（Ⅲ）若cn3nbn（为非零整数，nN）试确定的值，使得对任意nN,都有cn1cn成立．

16．（津南区一模）等比数列{an}为递增数列，且a4（I）求数列{bn}的前n项和Sn及Sn的最小值；

a220*,a3a5，数列bnlog3n（nN)39

2（II）设Tnb1b2b22b2n1，求使Tn5n320成立的n的最小值． 17、（河东二模）已知数列{bn}(nN)是递增的等比数列，且b1b35,b1b3

4（1）求数列{bn}的通项公式；（2）若数列{an}的通项公式是ann2，数列{anbn}的前n项和为sn，求sn

18、（河西二模）已知曲线C:yx2(x0)，过C上的点A1(1,1)做曲线C的切线l1交x轴于点B1，再过点

B1作y轴的平行线交曲线C于点A2，再过点A2作曲线C的切线l2交x轴于点B2，再过点B2作y轴的平

行线交曲线C于点A3，……，依次作下去，记点An的横坐标为an(nN)

（1）求数列{an}的通项公式；（2）设数列{an}的前n项和为sn，求证：ansn1；

14n

1（3）求证： 

3i1aisi

n

19.（09天津文）已知等差数列{an}的公差d不为0，设Sna1a2qanqn1

Tna1a2q(1)n1anqn1,q0,nN*

（Ⅰ）若q1,a11,S315 ,求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若a1d,且S1,S2,S3成等比数列，求q的值。（Ⅲ）若q1,证明（1q）S2n19、（2010文）在数列an

2dq(1q2n)*

(1q)T2n,nN2

1q

中，a10，且对任意kN*，a2k1,a2k,a2k1成等差数列，其公差为2k.的通项公式；

(Ⅰ)证明a4,a5,a6成等比数列；(Ⅱ)求数列an

32232n2

(Ⅲ)记Tn……+，证明2nTn2(n2).2a2a3an

20．（2011文）已知数列{an}与{bn}满足bn1anbnan1

3(1)n1

(2)1,bn,nN*,且a12.n

（Ⅰ）求a2,a3的值；（Ⅱ）设cna2n1a2n1,nN*，证明{cn}是等比数列；（Ⅲ）设Sn为{an}的前n项和，证明

S1S2

a1a2



S2n1S2n1

n(nN*).a2n1a2n3

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