余弦定理教案（汇总19篇）_余弦定理教案

余弦定理教案（汇总19篇）。

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步骤1.

在锐角△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足为点H

步骤2.

证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

如图，任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.

作直径BD交⊙O于D.

连接DA.

因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C.

所以c/sinC=c/sinD=BD=2R 类似可证其余两个等式。

平面向量证法：

∴c^2=a・a+2a・b+b・b∴c^2=a^2+b^2+2|a||b|Cos(π-θ)

∴c^2=a^2+b^2-2|a||b|Cosθ(注意：这里用到了三角函数公式)

同理可证其他，而下面的CosC=(c^2-b^2-a^2)/2ab就是将CosC移到左边表示一下。

做AD⊥BC.

则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c

b^2=sinB・c+a^2+cosB・c^2-2ac*cosB

b^2=(sinB^2+cosB^2)*c^2-2ac*cosB+a^2

⬮ 余弦定理教案

各位评委老师，下午好！今天我说课的题目是余弦定理，说课的内容为余弦定理第二课时，下面我将从说教材、说学情、说教法和学法、说教学过程、说板书设计这四个方面来对本课进行详细说明：

《余弦定理》是必修5第一章《解三角形》的第一节内容，前面已经学习了正弦定理以及必修4中的任意角、诱导公式以及恒等变换，为后面学习三角函数奠定了基础，因此本节课有承上启下的作用。本节课是解决有关斜三角形问题以及应用问题的一个重要定理，它将三角形的边和角有机地联系起来，实现了“边”与“角”的互化，从而使“三角”与“几何”产生联系，为求与三角形有关的量提供了理论依据，同时也为判断三角形形状，证明三角形中的有关等式提供了重要依据。

根据上述教材内容分析以及新课程标准，考虑到学生已有的认知结构，心理特征及原有知识水平，我将本课的教学目标定为：

在探究学习的过程中，认识到余弦定理可以解决某些与测量和几何计算有关的实际问题，帮助学生提高运用有关知识解决实际问题的能力。

⒊情感、态度与价值观：

培养学生的探索精神和创新意识；在运用余弦定理的过程中，让学生逐步养成实事求是，扎实严谨的科学态度，学习用数学的思维方式解决问题，认识世界；通过本节的运用实践，体会数学的科学价值，应用价值；

教学重点是：运用余弦定理探求任意三角形的边角关系，解决与之有关的计算问题，运用余弦定理解决一些与测量以及几何计算有关的实际问题。

教学关键是：熟练掌握并灵活应用余弦定理解决相关的实际问题。

下面为了讲清重点、难点，使学生能达到本节设定的教学目标，我再从教法和学法上谈谈：

从知识层面上看，高中学生通过前一节课的学习已经掌握了余弦定理及其推导过程；从能力层面上看，学生初步掌握运用余弦定理解决一些简单的斜三角形问题的技能；从情感层面上看，学生对教学新内容的学习有相当的兴趣和积极性，但在探究问题的能力以及合作交流等方面的发展不够均衡。

贯彻的指导思想是把“学习的主动权还给学生”,倡导“自主、合作、探究”的学习方式。让学生自主探索学会分析问题，解决问题。

下面为了完成教学目标，解决教学重点，突破教学难点，课堂教学我准备按以下五个环节展开：

由于本节课是余弦定理的第一课时，因此先领着学生回顾复习上节课所学的内容，采用提问的方式，找同学回答余弦定理的内容及公式，并且让学生回想公式推导的思路和方法，这样一来可以检验学生对所学知识的掌握情况，二来也为新课作准备。

△ABC的顶点为A（6,5），B（-2,8）和C（4,1），求（精确到）。

已知三点A（1,3），B（-2,2），C（0,-3），求△ABC各内角的大小。

通过利用余弦定理解斜三角形的思想，来对这两道例题进行分析和讲解；本环节的目的.在于通过典型例题的解答，巩固学生所学的知识，进一步深化对于余弦定理的认识和理解，提高学生的理解能力和解题计算能力。

在本环节中，我将找学生到黑板做题，期间巡视下面同学的做题情况，加以纠正和讲解；通过解决书后练习题，巩固学生当堂所学知识，同时教师也可以及时了解学生的掌握情况，以便及时调整自己的教学步调。

在本环节中，我将采用师生共同总结-交流-完善的方式，首先让学生自己总结出余弦定理可以解决哪些类型的问题，再由师生共同完善，总结出余弦定理可以解决的两类问题：⑴已知三边，求各角；⑵已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角。本环节的目的在于引导学生学会自己总结；让学生进一步体会知识的形成、发展、完善的过程。

基于因材施教的原则，在根据不同层次的学生情况，把作业分为必做题和选做题，必做题要求所有学生全部完成，选做题要求学有余力的学生完成，使不同程度的学生都有所提高。本环节的目的是让学生进一步巩固和深化所学的知识，培养学生的自主探究能力。

在本节课中我将采用提纲式的板书设计，因为提纲式-条理清楚、从属关系分明，给人以清晰完整的印象，便于学生对教材内容和知识体系的理解和记忆。

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尊敬的评委老师们：

你们好，我今天说课的题目是余弦定理，（说教材） "余弦定理"是人教A版数学第必修5主要内容之一，是解决有关斜三角形问题的两个重要定理之一，也是初中"勾股定理"内容的直接延拓，它是三角函数一般知识和平面向量知识在三角形中的具体运用，是解可转化为三角形计算问题的其它数学问题及生产、生活实际问题的重要工具，因此具有广泛的应用价值。本节课是"正弦定理、余弦定理"教学的第二节课，其主要任务是引入并证明余弦定理，在课型上属于"定理教学课".

这堂课并不是将余弦定理全盘呈现给学生，而是从实际问题的求解困难，造成学生认知上的冲突，从而激发学生探索新知识的强烈欲望。另外，本节与教材其他课文的共

性是都要掌握定理内容及证明方法，会解决相关的问题。

下面说一说我的教学思路。

（教学目的）

通过对教材的分析钻研制定了教学目的：

1.掌握余弦定理的内容及证明余弦定理的向量方法，会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。

2.培养学生在方程思想指导下解三角形问题的运算能力。

3.培养学生合情推理探索数学规律的思维能力。

4.通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识的联系，来理解事物普遍联系与

辩证统一。

（教学重点）

余弦定理揭示了任意三角形边角之间的客观规律，()是解三角形的重要工具。余弦定理是初中学习的勾股定理的拓广，也是前阶段学习的三角函数知识与平面向量知识在三角形中的交汇应用。本节课的重点内容是余弦定理的发现和证明过程及基本应用，其

中发现余弦定理的过程是检验和训练学生思维品质的重要素材。

（教学难点）

余弦定理是勾股定理的推广形式，勾股定理是余弦定理的特殊情形，勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中，起到奠基作用，因此分析勾股定理的结构特征是突破发现余弦定理这个难点的关键。

（教学方法）

在确定教学方法之前，首先分析一下学生：我所教的是课改一年级的学生。他们的基础比正常高中的学生要差许多，拿其中一班学生来说：数学入学成绩及格的占50%

左右，相对来说教材难度较大，要求教师吃透教材，选择恰当的教学方法和教学手段把

知识传授给学生。

根据教材和学生实际，本节主要采用"启发式教学"、"讲授法"、"演示法",并采用电教手段使用多媒体辅助教学。

1.启发式教学：

利用一个工程问题创设情景，启发学生对问题进行思考。在研究过程中，激发学生探索新知识的强烈欲望。

2. 练习法：通过练习题的训练，让学生从多角度对所学定理进行认识，反复的练习，体现学生的主体作用。

3. 讲授法：充分发挥主导作用，引导学生学习。

4. 演示法：利用动画、图片，激发学生的学习兴趣，调动学生积极性。

这节课准备的器材有：计算机、大屏幕。

（教学程序）

1. 复习正弦定理（2分钟）：安排一名同学上黑板写正弦定理。

2. 设计精彩的新课导入（5分钟）：利用大屏幕演示一座山，先展示，后出现B、C,

再连成虚线，并闪动几下，闪动边AB、AC几下，再闪动角A的阴影几下，可测得

AC、AB的长及∠A大小。

问你知道工程技术人员是怎样计算出来的吗？

一下子，学生的注意力全被调动起来，学生一定会采用正弦定理，但很快发现

∠B、∠C不能确定，陷入困境当中。

3. 探索研究，合理猜想。

当AB=c,AC=b一定，∠A变化时，a可以认为是A的函数，a=f（A），A∈（0,∏）

比较三种情况，学生会很快找到其中规律。 -2ab的系数-1、0、1与A=0、∏/2、∏之间存在对应关系。

教师指导学生由特殊到一般，经比较分析特例，概括出余弦定理，这种促使学生主动参与知识形成过程的教学方法，既符合学生学习的认知规律，又突出了学生的主体地位。"授人以鱼",不如"授人以渔",引导学生发现问题，探究知识，建构知识，对学生

来说，既是对数学研究活动的一种体验，又是掌握一种终身受用的治学方法。

4. 证明猜想，建构新知

接下来就是水到渠成，现在余弦定理还需要进一步证明，要符合数学的严密逻辑推理，锻炼学生自己写出定理证明的已知条件和结论，请一位学生到黑板写出来，并请同学们自己进行证明。教师在课中进行指导，针对出现的问题，结合大屏幕打出的正

确过程进行讲解。

在大屏幕打出余弦定理，为了促进学生记忆，在黑板上让学生背着写出定理，也是当

堂巩固定理的方法。

5. 操作演练，巩固提高

定理的应用是本节的重点之一。我分析题目，请同学们进行解答，在难点处进行点拨。以第二题为例，在求A的过程中学生会产生分歧，一部分采用正弦定理，一部分采用余弦定理，其实两种做法都可得到正确答案，形成解法一和解法二。在这道例题中进行发散思维的训练，（在上例中，能否既不使用余弦定理，也不使用正弦定理，

求出∠A?）

启发一：a视为B 与C两点间的距离，利用B、C的坐标构造含A的等式

启发二：利用平移，用两种方法求出C’点的坐标，构造等式。使学生的思维活跃，渐入新的境界。每次启发，或是针对一般原则的提示，或是在学生出现思维盲点

处点拨，或是学生"简单一跳未摘到果子"时的及时提醒。

6. 课堂小结：

告诉学生余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理

的特例。

7. 布置作业：书面作业 3道题

作业中注重余弦定理的应用，重点培养解决问题的能力。

以上是我的一点粗浅的认识，如有不对之处，请老师评委们给与指教，我的课说完了，谢谢各位。

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1、正弦定理：在C中，a、b、c分别为角、、C的对边，R为C的外接圆的半径，则有abc2R． sinsinsinC2、正弦定理的变形公式：①a2Rsin，b2Rsin，c2RsinC； abc，sin，sinC；③a:b:csin:sin:sinC； 2R2R2R

abcabc④． sinsinsinCsinsinsinC②sin（正弦定理主要用来解决两类问题：

1、已知两边和其中一边所对的角，求其余的量。

2、已知两角和一边，求其余的量。）

⑤对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。（一解、两解、无解三中情况）如：在三角形ABC中，已知a、b、A（A为锐角）求B。具体的做法是：数形结合思想 画出图：法一：把a扰着C点旋转，看所得轨迹以AD有无交点：

当无交点则B无解、当有一个交点则B有一解、当有两个交点则B有两个解。

法二：是算出CD=bsinA,看a的情况：

当a

当bsinA

当a=bsinA或a>b时，B有一解

注：当A为钝角或是直角时以此类推既可。

3、三角形面积公式：SC111bcsinabsinCacsin． 22

22222224、余弦定理：在C中，有abc2bccos，bac2accos，c2a2b22abcosC．

b2c2a2a2c2b2a2b2c25、余弦定理的推论：cos，cos，cosC． 2bc2ac2ab(余弦定理主要解决的问题：

1、已知两边和夹角，求其余的量。

2、已知三边求角)

6、如何判断三角形的形状：设a、b、c是C的角、、C的对边，则：①若a2b2c2，则C90；

②若abc，则C90；③若abc，则C90．

正余弦定理的综合应用：如图所示：隔河看两目标A、B,C、D两点，并测得∠ACB=75, ∠BCD=45, ∠ADC=30,∠ADB=45(A、B、C、D在同一平面内)，求两目标A、B

本题解答过程略

附：三角形的五个“心”；

重心：三角形三条中线交点.外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.内心：三角形三内角的平分线相交于一点.垂心：三角形三边上的高相交于一点.OOOO222222数学必修5第一章《解三角形》

1.1 正弦定理与余弦定理（习题课）

一、课前练习：

1、在△ABC中，若b2asinB，则A等于（）

A．30或60B．45或60 C．120或60D．30或1502、在△ABC中，若sinA∶sinB∶sinC7∶8∶13，则角C___________。

3、三角形△ABC中AB=14，角C60，AC：BC=8：5，求△ABC的面积S。

二、课堂练习： 00000000

abc1、在ABC中，若A60，asinAsinBsinC等于（）

1A、2；B、2；CD、。

2、在OAB中，O为坐标原点，A(1,cos),B(sin,1),(0,

2]，则当OAB的面积达

最大值时，。

3、在ABC中，A:B1:2，C的平分线CD把三角形面积分成3:2两部分，求cosA。

4、在△ABC中，bcbca，且

三、课后练习：

1、在ABC中，(ac)(ac)b(bc)，则A=（）

A、30；B、60；C、120；D、1502、在△ABC中，角A,B均为锐角，且cosAsinB,则△ABC的形状为（）

A、钝角三角形； B、锐角三角形;C、直角三角形； D、无法确定其形状。

3、在ABC中，∠A=60°, a=6 , b=2, 那么满足条件的ABC共有个。222c13，求角A和tanB的值。b

2S3，则a=。

4、在ABC中，b

8，cABC5、在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且cosA

（1）求sin6、在ABC中，已知(abc)(abc)3abc，sinAsinB

状.21。3BCcos2A的值；（2）若a3，求bc的最大值。23，试判断三角形的形

47、已知ABC的周长为6，BC,CA,AB成等比数列，求

（1）ABC的面积S的最大值；（2）BABC的取值范围.参考答案

1.1 正弦定理与余弦定理（习题课）

一、课前练习：

1、D；

2、1200；

3、设AC8x,BC5x，ABACBC2ACBCcosC

19664x25x40x49xx2AC16,BC10S22222221ACBCsinC40。

2二、课堂练习：

1、A；

2、450；

3、SADC:SBDC3:2,AD:BD3:2，于是设AD3x,BD2x ADCDBDCD, sinACDsinAsinBCDsinB

3xCD2xCD,3sinA2sin2A4sinAcosA sinACDsinAsinACDsin2A

3所以，cosA。4在△ADC与△BDC中，由正弦定理得，b2c2a21A60

4、bcbca,cosA2bc222

2c1a2c2ca又由bcbca得，212，， b2bb2bb222

则 sinA52 sinBcosBsinB25

5sinB1a25。，所以tanB1,abb(0,90)cosBcosB2b25

三、课后练习：

1、C；

2、B；

3、1；

4、8；

5、(Ⅰ)sinBC1cos2A=[1cos(BC)](2cos2A1)2

212=(1cosA)(2cosA1)2

1121=(1)(1)=  23992

2b2c2a21cosA，∴bcb2c2a22bca2,(Ⅱ)∵32bc

3又∵a3，∴bc

9.4993，当且仅当 bc时, bc= 424故bc的最大值是

6、由（a+b+c）(a+b－c)=3ab(ab)c3ababcab, 2222

2a2b2c21∵0°

∴cos(A+B)=－

∴cosAcosB=311cosAcosBsinAsinB,∴sinAsinB=①, 4221②,①+②得cos(A－B)=1，AB, ∴A－B=0，4∴A=C=B=60°，故△ABC为正三角形.27、设BC,CA,AB依次为a,b,c,则abc6,bac,由余弦定理得

a2c2b2a2c2ac2acac1cosB 2ac2ac2ac2

故有0B

3，又bac6b,从而0b222

11212SacsinBbsinB

2sinSmax（1）所以2223

22222(ac)2acbBABCaccosB（2）所以22(6b)23b2(b3)2272

0b22BABC18

第三篇：正、余弦定理及其应用

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正、余弦定理及其应用

作者：夏志辉

来源：《数学金刊·高考版》2013年第10期

正、余弦定理及其应用是高中数学的一个重要内容，是高考必考知识点之一，也是解三角形的重要工具，常常会结合三角函数或平面向量的知识来考查其运用.重点难点

在高考中，本部分知识所考查的有关试题大多为容易题.在客观题中，突出考查正、余弦定理及其推论所涉及的运算；在解答题中，通常联系三角恒等变形、三角形内角和定理、三角形面积公式等知识进行综合考查，常见的有证明、判断、求值（求解斜三角形中的基本元素：角、面积等）及解决实际问题等题型.重点：①正确理解正、余弦定理的概念，了解正、余弦定理之间的内在联系，掌握公式的一些常用变形；②判断三角形的形状；③解斜三角形；④运用正、余弦定理解决一些实际问题以及与其他知识相互渗透的综合问题.难点：①解三角形时解的情况的讨论；②正、余弦定理与三角恒等变换等知识相互联系的综合问题.

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Area = (1/2)*a*b*sinC

通过正弦定理，我们可以得到以下公式：

Area = (1/2)*a*b*sinC = (1/2)*b*c*sinA = (1/2)*c*a*sinB

根据这个公式，我们可以计算出三角形的面积。

接下来，我们来回顾一下余弦定理的表达式：

对于一个三角形ABC，其三个边长分别为a、b和c，对应的角度分别为A、B和C。根据余弦定理，我们有以下关系式：

c² = a² + b² - 2ab*cosC

根据这个定理，我们可以解决以下几类问题：

1.已知三角形的两个边和夹角，求第三边的长度：

根据余弦定理，我们可以得出以下公式：

c = sqrt(a² + b² - 2ab*cosC)

通过这个公式，我们可以计算出第三边的长度。

2.已知三角形的三个边长，求其中一个角的大小：

根据余弦定理，我们可以得到以下公式：

cosC = (a² + b² - c²)/(2ab)

通过这个公式，我们可以计算出角C的大小。

余弦定理还可以帮助我们判断三角形的类型。例如，如果一个三角形的三个边长分别为a、b和c，那么：

如果c² 如果c² = a² + b²，该三角形为直角三角形；

如果c² > a² + b²，该三角形为钝角三角形。

在教学过程中，我发现学生对于正弦定理和余弦定理的应用有些困难。一方面，学生往往会忽略角度的单位，导致计算结果出现错误。另一方面，学生在解题时没有很好地理解定理的应用场景，导致无法正确地运用公式。

为了解决这些问题，我采取了以下教学策略：

1.强调角度单位的重要性：

在教学过程中，我会提醒学生在计算中要注意角度的单位，并给予具体的示范。例如，我会告诉学生在计算时要将度数转换为弧度，以确保结果的准确性。

2.以实际问题为背景进行教学：

为了帮助学生更好地理解定理的应用场景，我会将问题设置在实际生活中，如测量房屋的高度、计算三角形地面上的面积等。通过这种方式，学生能够将抽象的数学概念与实际问题进行联系，提高他们的学习兴趣。

3.提供多种解题方法：

在教学过程中，我会向学生介绍不同的解题方法，以便他们选择最适合自己的方法。有些学生可能更喜欢使用正弦定理进行计算，而另一些学生则更习惯使用余弦定理。我鼓励学生尝试不同的方法，并选择最适合自己的解题方式。

通过以上的教学策略，我发现学生对于正弦定理和余弦定理的应用有了更深入的理解。他们能够熟练地运用这两个定理解决各种与三角形有关的问题，并在解题过程中提出自己的思考和见解。这为他们进一步学习数学奠定了坚实的基础。

⬮ 余弦定理教案

（1）已知三角形的三条边长，可求出三个内角

（2）已知三角形的两边及夹角，可求出第三边。

（3）已知三角形两边及其一边对角，可求其它的角和第三条边。（见解三角形公式，推导过程略。）

判定定理一（两根判别法）：

若记m(c1,c2)为c的两值为正根的个数，c1为c的表达式中根号前取加号的值，c2为c的表达式中根号前取

减号的值

①若m(c1,c2)=2,则有两解

②若m(c1,c2)=1,则有一解

③若m(c1,c2)=0,则有零解（即无解）。

注意：若c1等于c2且c1或c2大于0，此种情况算到第二种情况，即一解。

判定定理二（角边判别法）:

一当a>bsinA时

①当b>a且cosA>0（即A为锐角）时，则有两解

②当b>a且cosA<=0（即A为直角或钝角）时，则有零解（即无解）

③当b=a且cosA>0（即A为锐角）时，则有一解

④当b=a且cosA<=0（即A为直角或钝角）时，则有零解（即无解）

⑤当b 二当a=bsinA时

①当cosA>0（即A为锐角）时，则有一解

②当cosA<=0（即A为直角或钝角）时，则有零解（即无解）

三当a 例如：已知△ABC的三边之比为5：4：3，求最大的内角。

解 设三角形的三边为a,b,c且a:b:c=5:4:3.

由三角形中大边对大角可知：∠A为最大的角。由余弦定理

cos A=0

所以∠A=90°。

再如△ABC中，AB=2,AC=3,∠A=60度，求BC之长。

解 由余弦定理可知

BC2=AB2+AC2-2AB×AC·cos A

=4+9-2×2×3×cos60

=13-12x0.5

=13-6

=7

⬮ 余弦定理教案

余弦定理(第二余弦定理)

余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。

直角三角形的一个锐角的邻边和斜边的比值叫这个锐角的余弦值

编辑本段

余弦定理性质

对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍积，若三边为a，b，c 三角为A，B，C ，则满足性质--

a^2 = b^2+ c^2 - 2·b·c·cosA

b^2 = a^2 + c^2 - 2·a·c·cosB

c^2 = a^2 + b^2 - 2·a·b·cosC

cosC = (a^2 + b^2 - c^2) / (2·a·b)

cosB = (a^2 + c^2 -b^2) / (2·a·c)

cosA = (c^2 + b^2 - a^2) / (2·b·c)

(物理力学方面的平行四边形定则中也会用到)

第一余弦定理(任意三角形射影定理)

设△ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有

a=b·cos C+c·cos B， b=c·cos A+a·cos C， c=a·cos B+b·cos A。

编辑本段

余弦定理证明

平面向量证法

∵如图，有a+b=c (平行四边形定则:两个邻边之间的对角线代表两个邻边大小) ∴c·c=(a+b)·(a+b)

∴c^2=a·a+2a·b+b·b∴c^2=a^2+b^2+2|a||b|Cos(π-θ)

(以上粗体字符表示向量)

又∵cos(π-θ)=-Cosθ

∴c2=a2+b2-2|a||b|cosθ(注意:这里用到了三角函数公式)

再拆开，得c2=a2+b2-2*a*b*CosC

即 cosC=(a2+b2-c2)/2*a*b

同理可证其他，而下面的cosC=(c2-b2-a2)/2ab就是将cosC移到左边表示一下。

平面几何证法

在任意△ABC中

做AD⊥BC.

∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a

则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c

根据勾股定理可得:

AC^2=AD^2+DC^2

b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2

b^2=(sinB*c)^2+a^2-2ac*cosB+(cosB)^2*c^2

b^2=(sinB2+cosB2)*c^2-2ac*cosB+a^2

b^2=c^2+a^2-2ac*cosB

cosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac

编辑本段

作用

(1)已知三角形的三条边长，可求出三个内角

(2)已知三角形的两边及夹角，可求出第三边。

(3)已知三角形两边及其一边对角，可求其它的角和第三条边。(见解三角形公式，推导过程略。)

判定定理一(两根判别法):

若记m(c1,c2)为c的两值为正根的个数，c1为c的表达式中根号前取加号的值，c2为c的表达式中根号前取

减号的值

①若m(c1,c2)=2,则有两解

②若m(c1,c2)=1,则有一解

③若m(c1,c2)=0,则有零解(即无解)。

注意:若c1等于c2且c1或c2大于0，此种情况算到第二种情况，即一解。

判定定理二(角边判别法):

一当a>bsinA时

①当b>a且cosA>0(即A为锐角)时，则有两解

②当b>a且cosA

③当b=a且cosA>0(即A为锐角)时，则有一解

④当b=a且cosA

⑤当b

二当a=bsinA时

①当cosA>0(即A为锐角)时,则有一解

②当cosA

三当a

解三角形公式 例如:已知△ABC的三边之比为5:4:3，求最大的内角。

解 设三角形的三边为a,b,c且a:b:c=5:4:3.

由三角形中大边对大角可知:∠A为最大的角。由余弦定理

cos A=0

所以∠A=90°.

再如△ABC中，AB=2,AC=3,∠A=60度，求BC之长。

解 由余弦定理可知

BC2=AB2+AC2-2AB×AC·cos A

=4+9-2×2×3×cos60

=13-12x0.5

=13-6

=7

所以BC=√7. (注:cos60=0.5,可以用计算器算)

以上两个小例子简单说明了余弦定理的作用。

其他

从余弦定理和余弦函数的性质可以看出，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角一定是直角，如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角，如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角。即，利用余弦定理，可以判断三角形形状。同时，还可以用余弦定理求三角形边长取值范围。

解三角形时，除了用到余弦定理外还常用正弦定理。

30° 45° 60°

Sin 1/2 √2/2 √3/2

Cos √3/2 √2/2 1/2

Tan √3/3 1 √3

⬮ 余弦定理教案

∵如图，有a+b=c（平行四边形定则：两个邻边之间的对角线代表两个邻边大小） ∴c·c=(a+b)·(a+b)

∴c^2=a·a+2a·b+b·b∴c^2=a^2+b^2+2|a||b|Cos（π-θ）

（以上粗体字符表示向量）

又∵Cos（π-θ）=-Cosθ

∴c2=a2+b2-2|a||b|Cosθ（注意：这里用到了三角函数公式）

再拆开，得c2=a2+b2-2*a*b*CosC

即 CosC=(a2+b2-c2)/2*a*b

同理可证其他，而下面的CosC=(c2-b2-a2)/2ab就是将CosC移到左边表示一下。

平面几何证法

在任意△ABC中

做AD⊥BC.

∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a

则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c

根据勾股定理可得：

AC2=AD2+DC2

b2=(sinB*c)2+(a-cosB*c)2

b2=(sinB*c)2+a2-2ac*cosB+(cosB)2*c2

b2=(sinB2+cosB2)*c2-2ac*cosB+a2

b2=c2+a2-2ac*cosB

cosB=(c2+a2-b2)/2ac

⬮ 余弦定理教案

三角形三边关系是三角形三条边关系的定则，具体内容是在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

三角形三边关系是三角形三条边关系的定则，具体内容是在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

设三角形三边为a,b,c则a+b>c,a>c-b，b+c>a,b>a-c，a+c>b,c>b-a

直角三角形

性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

性质2：在直角三角形中，两个锐角互余。

性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。

性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。

⬮ 余弦定理教案

正余弦定理测试题

一、选择题

1.已知三角形三内角之比为1：2：3，则它们所对边之比为（）

A.1：2：3B.1:2:C.1::2D.2:3:

22.有分别满足下列条件的两个三角形：（1）B30,a14,b7（2）B60,a10,b9

那么下面判断正确的是（）

A．（1）只有一解（2）也只有一解B．（1）有两解（2）也有两解

C．（1）有两解（2）只有一解D．（1）只有一解（2）有两解

3．在△ABC

中，已知角B450,cb，则角A的值是（）A．15°B．75°C．105°D．75°或15°

4．边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和的（）

A．90° B．120° C．135° D．150°

5．在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC=3∶2∶4，那么cosC的值为（）

A．－1 4B．1 4C．－ 2 3D．2

36．△ABC中，∠A=60°，a

A．有一个解

7.6,b4，那么满足条件的△ABC（）C．无解 D．不能确定 B．有两个解(abc)(abc)3ab，则c边所对的角等于（）

A．45B．60C．30D．150

8.锐角三角形的三边长分别为x+x+1,x－1和2x+1(x＞1)，则最大角为（）

A．150°B．120°C．60°D．75°

9．在 中，则三角形的形状为（）2

2A．直角三角形B．锐角三角形C．等腰三角形D．等边三角形

10.三角形三条边如下：（1）3，5，7（2）10，24，26（3）21，25，28，其中锐角三角形，直角三角形，钝角三角形的顺序依次是（）

A．（3）（2）（1）B．(1)(2)(3)C．(3)(1)(2)D．（2）（3）（1）

11.三角形ABC周长等于20，面积等于3,A60，则a为（）

A.5B.7C.6D.8

正余弦定理测试题

12．某人朝正东方向走x km后，向右转150°，然后朝新方向走3km，结果他离出发点恰好km，那么

x的值为

A．3

二、填空题（）C．2或D．3B．2

313．在△ABC中，a2,b6,A30,则C

14．在△ABC中，若∠B=30°,AB=2,AC=2,则△ABC的面积为___。

15．在△ABC中，(sinAsinC):(sinCsinA):(sinAsinB)4:5:6，则最大角的度数是___

16．在△ABC 中，A=3°，b=12，S△ABC =18，则sinAsinBsinC 的值_______。abc

三、解答题

17．已知钝角△ABC 的三边a=k,b=k+2,c=k+4, 求k的取值范围。

18．根据所给条件，判断△ABC的形状.

（1）acosA=bcosB；(2)

19．在△ABC中,已知C60,AB31,线段AC上有一点D，AD=20，BD=21，求BC长。

20.a、b、c为△ABC的三边，其面积S△ABC=123,bc=48,b－c=2,求a.21.已知a2b2c2bc,2b3c,a，求ABC的面积。

22.（2011.陕西）叙述并证明余弦定理。

abc． cosAcosBcosC

⬮ 余弦定理教案

《余弦定理》说课稿

一．教材分析

1．地位及作用 “余弦定理”是人教A版数学必修5主要内容之一，是解决有关斜三角形问题的两个重要定理之一，也是初中“勾股定理”内容的直接延拓，它是三角函数一般知识和平面向量知识在三角形中的具体运用，是解可转化为三角形计算问题的其它数学问题及生产、生活实际问题的重要工具具有广泛的应用价值，起到承上启下的作用。

2． 课时安排说明

参照教学大纲与课程标准，以及学生的现实情况，本节内容安排两课时，本次说课内容为第一课时。3．教学重、难点

重点：余弦定理的证明过程和定理的简单应用。

难点：利用向量的数量积证余弦定理的思路。二．学情分析

本课之前，学生已经学习了三角函数、向量基本知识和正弦定理有关内容，对于三角形中的边角关系有了较进一步的认识。在此基础上利用向量方法探求余弦定理，学生已有一定的学习基础和学习兴趣。总体上学生应用数学知识的意识不强，创造力较弱，看待与分析问题不深入，知识的系统性不完善，使得学生在余弦定理推导方法的探求上有一定的难度.三． 目标分析

根据新课程标准突出学生综合素质培养的特点,确定了本节课三位一体的教学目标：

知识目标：能推导余弦定理及其推论，能运用余弦定理解已知“边，角，边”和“边，边，边”两类三角形。

能力目标：培养学生知识的迁移能力；归纳总结的能力；运用所学知识解决实际问题的能力。情感目标：从实际问题出发,体验数学在实际生活中的运用，让学生感受数学的美，激发学生学习数学的积极性。通过主动探索，合作交流，感受探索的乐趣和成功的体验。养成实事求是的科学态度和契而不舍的钻研精神.四． 教学方法

1．教法分析：

数学课堂上首先要重视知识的发生过程，既能展现知识的获取，又能突出解决问题的思维。在本节教学中，我将以课堂教学的组织者、引导者、合作者的身份，组织学生探究、归纳、推导，引导学生逐个突破难点，使学生在各种数学活动中掌握各种数学基本技能。

2．学法分析：

教师的“教”不仅要让学生“学会知识”，更重要的是要让学生“会学知识”，而正确的学法指导是培养学生这种能力的关键。本节教学中通过创设情境，充分调动学生已有的学习经验，让学生经历“现实问题转化为数学问题”的过程，并通过实际操作，使刚产生的数学知识得到完善，提高了学生动手动脑的能力.五． 教学过程

教学环节：温故知新—探究新知—巩固提高—反思体验。

1.在第一环节中,我提出问题:正弦定理及正弦定理解决的解三角形问题。并引导学生思考正弦定理没有解决的解三角形问题。

设计意图：温故旧知，为学习新知识,做准备。

2.在第二个环节中：通过铁路规划的实际问题，建立数学模型.设计意图：通过实际问题，引发学生思考,激发学生的学习兴趣,在给出技术人员的方法后,提出问题,激起学生求知欲.然后我将全班同学分为三个队,以小组合作的形式分别利用平面几何法,向量法,解析法探究余弦定理.设计意图: 从各个不同的方向探索得到余弦定理，发散学生的思维;让全班同学参与其中,成为学习的主人,共同感受知识的产生过程,体验成功的快乐.通过学生的自主学习,合作交流,得出余弦定理公式,归纳总结定理特点,树立知三求一的思想.3.在第三个环节中,首先带领学生解决之前的实际问题,树立学生信心,使学生有一种跃跃欲试的感觉.然后设置了三道例题: 例1:已知两边及夹角,巩固新知

例2:已知三边求最大角;由学生思考得出余弦定理推论,带动学生思考,观察推论,再次明确知三求一的思想;例3:已知两边及一边对角;引导学生发出此类问题可以通过正,余弦定理两种方法求解.这样设计由浅入深,层次分明,符合学生的认识规律,最后加以总结.接下来通过一道口答题,使学生回忆起勾股定理可以解直角三角形,引发学生思考勾股定理与余弦定理的关系.设计意图:加深学生对余弦定理的认识，强化特殊与一般的对立统一关系。通过知识的外延拓展学生思维，培养学生创造力。

通过抢答环节,调动学生的积极性,通过课堂练习巩固所学知识,加强学生数学知识应用能力的培养.4.在最后一个环节中,通过知识树的形式总结本节课内容,使学生对知识有一个系统的回顾与认识，培养学生归纳概括能力。六．教学理念

学习的主体是学生，要因材施教对症下药，具体情况具体分析，不能照搬照抄。教无定法，关键是学生能不能有所思，有所得。新课程的数学提倡学生自主探索，合作交流,所以在本节课的教学中，我始终本着“教师是课堂教学的组织者、引导者、合作者”的原则，让学生通过分析、观察、归纳、推理等过程建构新知识，并初步学会从数学的角度去观察事物和思考问题。同时，以学生作为教学主体，设计可操作的数学活动，使每个同学都参与其中,从而带动和提高全体学生的学习积极性和主动性。师生共同体验发现探索的快乐，感受合作交流的愉悦。同时要求教师从知识的传授者向课堂的设计者、组织者、引导者、合作者转化，从课堂的执行者向实施者、探究开发者转化。本课尽力追求新课程要求，利用师生的互动合作，提高学生的数学思维能力，发展学生的数学应用意识和创新意识，深刻地体会数学思想方法及数学的应用，激发学生探究数学、应用数学知识的潜能.昨天已经成为历史，今天我们在抒写着历史，愿我们的优质课竞赛成为丰富盟校教学，提升成绩的一个契机，通钢一中数学教师姚艳玲愿在这一活动中为此贡献自己的一份力量！谢谢大家!

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